Question

已知.
（1）求函數(shù)在上的最小值；
（2）對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）證明：對(duì)一切，都有成立.

Answer 1

（1）；（2）；
（3）設(shè)，則，
證得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，
從而對(duì)一切，都有成立.

解析試題分析：（1）定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/9c/f/chr2x1.png" style="vertical-align:middle;" />，，
當(dāng)單調(diào)遞減，
當(dāng)，單調(diào)遞增.                     2分
①無解；                                  3分
②，即時(shí)，
③，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以
（2），則，對(duì)一切恒成立
設(shè)，則
單調(diào)遞減，單調(diào)遞增     8分
在上，有唯一極小值，即為最小值.
所以，因?yàn)閷?duì)一切恒成成立，
所以；                                          9分
（3）問題等價(jià)于證明，
由（1）可知的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，
設(shè)，則，
易得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，                11分
從而對(duì)一切，都有成立.                   12分
考點(diǎn)：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，不等式的證明。
點(diǎn)評(píng)：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，（2）（3）涉及恒成立問題、不等式證明問題，均通過轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值，這種思路是一般解法，在研究函數(shù)最值的過程中，再次利用導(dǎo)數(shù)。