Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性 ；

（2）若對任意恒成立，求實數的取值范圍；

（3）當時，若函數有兩個極值點,求

的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上遞減；當 時，在 上內單調遞增，在 內單調遞減；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2），由，當時，，所以在內單調遞減，則有 ，從而 ,再證明當時，不符合題意,從而可得實數的取值范圍為；（3）求的最大值可轉化為，的最大值，利用導數可得在單調遞增， 當時，取得最大值，最大值為.

試題解析：（1）由已知得,

當時，，在內單調遞減.

當時，若，有，若，有，則在上內單調遞增，在內單調遞減.

（2）令，由

解法一：

當時，，所以在內單調遞減，

則有 ，從而 ,

當時，，得，當，有，則在上內單調遞增，此時 ，與恒成立矛盾，因此不符合題意,

綜上實數的取值范圍為.

解法二：

當時，，所以在內單調遞減，

則有 ，符合題意.

當時，，得，當，有，若，有，則在上內單調遞增，在內單調遞減.又，

因此，即 ,

綜上實數的取值范圍為.

（3），則，

由已知，可得，即方程有2個不相等的實數根，

則， 解得 ，其中,

而

由可得，又，所以,

設，

，由，則，故

所以在單調遞增，

當時，取得最大值，最大值為.