Question

【題目】已知函數f（x）=x|x-a|+bx（a，b∈R）．

（Ⅰ）當b=-1時，函數f（x）恰有兩個不同的零點，求實數a的值；

（Ⅱ）當b=1時，

①若對于任意x∈[1，3]，恒有f（x）≤2x2，求a的取值范圍；

②若a≥2，求函數f（x）在區間[0，2]上的最大值g（a）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）a=±1（Ⅱ）①a=0②g（a）=．

【解析】

（Ⅰ）求得b=-1時，f（x）的解析式，由f（x）=0，解方程即可得到所求a的值；

（Ⅱ）當b=1時，f（x）=x|x-a|+x，

①由題意可得|x-a|+1≤2x，即|x-a|≤2x-1，即有1-2x≤x-a≤2x-1，即1-x≤-a≤x-1，由x的范圍，結合恒成立思想可得a的范圍；

②求得f（x）的分段函數形式，討論2≤a＜3時，f（x）的單調性和最值，即可得到所求最大值．

（Ⅰ）當b=-1時，f（x）=x|x-a|-x=x（|x-a|-1），

由f（x）=0，解得x=0或|x-a|=1，

由|x-a|=1，解得x=a+1或x=a-1．

由f（x）恰有兩個不同的零點且a+1≠a-1，

可得a+1=0或a-1=0，得a=±1；

（Ⅱ）當b=1時，f（x）=x|x-a|+x，

①對于任意x∈[1，3]，恒有f（x）≤2x2，

即|x-a|+1≤2x，即|x-a|≤2x-1，

即有1-2x≤x-a≤2x-1，即1-x≤-a≤x-1，

x∈[1，3]時，1-x∈[-2，0]，x-1∈[0，2]，

可得0≤-a≤0，即a=0；

②f（x）==．

當2≤a＜3時，＜＜2≤a，

這時y=f（x）在[0，]上單調遞增，在[，2]上單調遞減，

此時g（a）=f（）=；

當a≥3時，≥2，y=f（x）在[0，2]上單調遞增，

此時g（a）=f（2）=2a-2．

綜上所述，g（a）=．