Question

【題目】已知函數在點處的切線方程為．

（1）求函數的解析式；

（2）若經過點可以作出曲線的三條切線，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：

（1）求出函數的導函數，然后根據導數的幾何意義得到關于的方程組，解方程組求得后可得函數的解析式．（2）設出切點，求導數后可得，即為切線的斜率，然后根據斜率公式可得，即．若函數有三條切線，則函數有三個不同的零點，根據函數的極值可得所求范圍．

試題解析；

（1）∵，

∴，

根據題意得，解得，

∴函數的解析式為.

（2）由（1）得．

設切點為，則， ，故切線的斜率為，

由題意得，

即，

∵ 過點可作曲線的三條切線

∴方程有三個不同的實數解，

∴函數有三個不同的零點．

由于，

∴當時， 單調遞增，

當時， 單調遞減，

當時， 單調遞增.

∴當時， 有極大值，且極大值為；

當時， 有極小值，且極小值為．

∵函數有3個零點，

∴，

解得．

∴實數的取值范圍是．