Question

已知數列a_n＝n－16，b_n＝(－1)ⁿ|n－15|，其中n∈N^*.
(1)求滿足a_n＋1＝|b_n|的所有正整數n的集合；
(2)若n≠16，求數列的最大值和最小值；
(3)記數列{a_nb_n}的前n項和為S_n，求所有滿足S_2m＝S_2n(m＜n)的有序整數對(m，n)．

Answer 1

（1）{n|n≥15，n∈N^*}（2）(n＝18)，最小值-2(n＝17)（3）S₁₆＝S₁₄，m＝7，n＝8

(1)a_n＋1＝|b_n|，n－15＝|n－15|.
當n≥15時，a_n＋1＝|b_n|恒成立；
當n<15時，n－15＝－(n－15)，n＝15(舍去)．
∴n的集合為{n|n≥15，n∈N^*}．
(2)＝.
(ⅰ)當n>16時，n取偶數時，＝，
當n＝18時，＝，無最小值；n取奇數時，＝－1－，
n＝17時，＝－2，無最大值．
(ⅱ)當n<16時，＝.
當n為偶數時，＝＝－1－.
n＝14時，＝－，＝－；
當n為奇數時，＝＝1＋，
n＝1時，＝1－＝，n＝15時，＝0.
綜上，最大值為(n＝18)，最小值－2(n＝17)．
(3)當n≤15時，b_n＝(－1)^n－1(n－15)，a_2k－1b_2k－1＋a_2kb_2k＝2(16－2k)≥0，
當n>15時，b_n＝(－1)ⁿ(n－15)，a_2k－1b_2k－1＋a_2kb_2k＝2(2k－16)>0，其中a₁₅b₁₅＋a₁₆b₁₆＝0，
∴S₁₆＝S₁₄，m＝7，n＝8.