Question

（本小題滿分12分）
已知直線過橢圓的右焦點，拋物線：的焦點為橢圓的上頂點，且直線交橢圓于、兩點，點、、 在直線上的射影依次為點、、．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l交y軸于點，且，當變化時，探求的值是否為定值？若是，求出的值，否則，說明理由；
（3）連接、，試探索當變化時，直線與是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由．

Answer 1

(1)
(2)
(3)

解：（Ⅰ）易知橢圓右焦點∴，
拋物線的焦點坐標
橢圓的方程
（Ⅱ）易知，且與軸交于，
設直線交橢圓于
由
∴
∴
又由
  同理
∴
∵               
∴
所以，當變化時， 的值為定值；
（Ⅲ）先探索，當時，直線軸，
則為矩形，由對稱性知，與相交的中點，且，
猜想：當變化時，與相交于定點
證明：由（Ⅱ）知，∴
當變化時，首先證直線過定點，
方法1）∵
當時，

∴點在直線上，
同理可證，點也在直線上；
∴當變化時，與相交于定點
方法2）∵，


∴，∴、、三點共線，同理可得、、也三點共線；
∴當變化時，與相交于定點