Question

【題目】已知是函數的零點，.

（1）求實數的值；

（2）若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍；

（3）若方程有三個不同的實數解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ)；(Ⅲ)．

【解析】

Ⅰ利用是函數的零點，代入解析式即可求實數的值；Ⅱ由不等式在上恒成立，利用參數分類法，轉化為二次函數求最值問題，即可求實數的取值范圍；Ⅲ原方程等價于，利用換元法，轉化為一元二次方程根的個數進行求解即可．

Ⅰ是函數的零點，

，得；

Ⅱ，，

則不等式在上恒成立，

等價為，

，

同時除以，得，

令，則，

，，

故的最小值為0，

則，即實數k的取值范圍；

Ⅲ原方程等價為，

，

兩邊同乘以得，

此方程有三個不同的實數解，

令，則，

則，

得或，

當時，，得，

當，要使方程有三個不同的實數解，

則必須有有兩個解，

則，得．