Question

（2009•溫州二模）已知曲線C：f（x）=x³-ax+a，
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）過C外一點(diǎn)A（1，0）引C的兩條切線，若它們的傾斜角互補(bǔ)，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值恒成立問題．
（Ⅱ）通過導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，利用切線的傾斜角互補(bǔ)，建立斜率關(guān)系，可求a．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=3x²-a，
因?yàn)閒（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
所以f'（x）≥0在區(qū)間[1，2]上恒成立． 
即a≤3x²恒成立．
因?yàn)楫?dāng)1≤x≤2時(shí)，
3x²≥3，
可得a≤3．  
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=3x²-a，過點(diǎn)A（1，0）作曲線C的切線，
設(shè)切點(diǎn)（x₀，f（x₀）），
則切線方程為：y=（3x₀-a）（x-1）
因?yàn)?span id="bvjf5br" class="MathJye">f(x0)=

x

3 0

-ax0+a，
所以將（x₀，f（x₀））代入得：
f(x0)=

x

3 0

-ax0+a=（3x₀-a）（x₀-1），
整理得2

x

3 0

-3x0=0   （*）
解得x₀=0或x₀=

3

2

         
故滿足條件的切線只有兩條，且它們的斜率分別為-a與

27

4

-a，
因?yàn)閮蓷l切線的傾斜角互補(bǔ)，
所以-a+

27

4

-a=0，
解得a=

27

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及利用導(dǎo)數(shù)求切線方程．