Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，右焦點到右頂點的距離為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）是否存在與橢圓交于兩點的直線：，使得成立？若存在，求出實數的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由已知條件可推得，由此能求出橢圓的標準方程；（2）存在直線使得成立，直線方程與橢圓的方程聯立，由此利用根的判別式和韋達定理結合已知條件，得出，即可求解實數的取值范圍．

試題解析：（1）設橢圓的方程為（），半焦距為．依題意，由右焦點到右頂點的距離為，得．解得，．所以．

所以橢圓的標準方程是．

（2）解：存在直線，使得成立．理由如下：

由得．

，化簡得．

設，，則，．

若成立，即，等價于．

所以．，

，,

化簡得，．將代入中，，解得， ．又由，，

從而，或．

所以實數的取值范圍是．