Question

【題目】已知等差數列中，，公差；數列中，為其前項和，滿足．

（1）記，求數列的前項和；

（2）求證：數列是等比數列；

（3）設數列滿足數列的前項積，若數列滿足，且，求數列的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）最大值為．

【解析】

試題分析：（1）由，得到，即可利用裂項相消求解數列的和；（2）根據數列的和的關系，得出，即可證明數列為等比數列；（3）由，進而得出，由，得到當時， 單調遞減，當時，單調遞增，但當時，每一項均小于，即可解數列的最大值．

試題解析：（1）∵，∴，

∴．．．．．3分

（2）∵，∴，∴時，∴ ，

∵符合上式，∴，故數列是等比數列．．．．．．．．．．．．．．．7分

（3）∵，∴，當時，

，又符合上式，

∴；∵，

所以當時，單調遞減，當時，單調遞增，但當時，每一項均小于0，

所以的最大值為．．12分