Question

【題目】已知m，n∈R＋，f(x)＝|x＋m|＋|2x－n|.

(1)當m＝n＝1時，求f(x)的最小值；

(2)若f(x)的最小值為2，求證.

Answer 1

【答案】(1) . (2)見解析.

【解析】試題分析：（1）代入m＝n＝1，卻掉絕對值，得到分段函數，判定分段函數的單調性，確定函數的最小值；

（2）由題意得，函數的最小值為2，得 ，利用基本不等式求解最值，即可證明.

試題解析：

(1)∵f(x)＝

∴f(x)在(－∞，)是減函數，在(，＋∞)是增函數，∴當x＝時，f(x)取最小值.

(2)∵f(x)＝，

∴f(x)在(－∞，)是減函數，在(，＋∞)是增函數，

∴當x＝時，f(x)取最小值f()＝m＋.

∵m，n∈R，∴＋＝ (＋)(m＋)

＝ (2＋＋)≥2

點晴:本題主要考查了絕含有絕對值的函數的最小值問題及分段函數的圖象與性質、基本不等式的應用，屬于中檔試題，著重考查了分類討論思想與轉化與化歸思想的應用，本題的解答中，根據絕對值的概念合理去掉絕對值號，轉化為分段函數，利用分段函數的圖象與性質，確定函數的最小值，構造基本不等式的條件，利用基本不等式是解答問題的關鍵.