Question

【題目】已知函數，直線是曲線的一條切線．

（1）求實數a的值；

（2）若對任意的x(0，)，都有，求整數k的最大值．

Answer 1

【答案】（1）1（2）3

【解析】

（1）設出切點的坐標，利用斜率和切點在直線上列方程組，解方程組求得切點的坐標以及的值.（2）構造函數，利用導數證得當時函數的最小值大于零，當函數值的最小值小于零，由此求得點的最大整數值為.

解：（1）設切點P(m，mlnm＋am＋1)，

由f ′(x)＝lnx＋1＋a

知 f(m)＝lnm＋1＋a.

則在點P處的切線l方程為：y＝(lnm＋1＋a)x－m＋1.

若與題目中的切線重合，則必有，

解得a＝m＝1，

所以a的值為1.

（2） 令F(x)＝f(x)－k(x－1)，

則根據題意，等價于F(x)＞0對任意的正數x恒成立.

F ′(x)＝lnx＋2－k，

令F ′(x)＝0，則x＝ek－2 .

當0＜x＜ek－2 ，則F ′(x)＜0，F(x)在（0，ek－2）上單減；

當x＞ek－2 ，則F ′(x)＞0，F(x)在（ek－2，＋∞）上單增.

所以有F(x)＝F(ek－2) ＞0，即ek－2－k－1＜0.

當k＝3，容易驗證，ek－2－k－1＜0；

下證：當k≥4，ek－2－k－1＞0成立.

令h(x)＝ex－2－x－1，x≥4,

則h ′(x)＝ex－2－1≥0，對任意的x≥4恒成立。

于是h(x)在[4，＋∞）上單增,

故h(x)＝h(4)＝e2－5＞0；

所以對于任意的x≥4，ex－2－x－1＞0.

綜上，k的最大值為3.