Question

如圖，正△ABC的中線AF與中位線DE相交于G，已知△A′ED是△AED繞DE旋轉過程中的一個圖形，下列說法中，錯誤的是（　　）

A．動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上

B．異面直線A′E與BD不可能垂直

C．三棱錐A′-FED的體積有最大值

D．恒有平面A′GF⊥平面BCED

Answer 1

分析：由斜線的射影定理可判斷A正確；由異面直線所成的角的概念可判斷B不正確；由三棱錐的體積計算公式，可判斷C正確；由面面垂直的判定定理，可判斷D正確；

解答：解：：∵A′D=A′E，∴DE⊥A′G，∵△ABC是正三角形，∴DE⊥AG，又A′G∩AG=G，∴DE⊥平面A′GF，從而平面ABC⊥平面A′AF，且兩平面的交線為AF，∴A'在平面ABC上的射影在線段AF上，故A正確；
∵E、F為線段AC、BC的中點，∴EF∥AB，∴∠A′EF就是異面直線A′E與BD所成的角，當（A'E）²+EF²=（A'F）²時，直線A'E與BD垂直，故B不正確；
∵三棱錐A′-FED的底面面積S_△FED的面積為定值，由（1）知，A′到AF的距離即為此三棱錐的高，故當平面ADE⊥平面DEF時，三棱錐的高最大為A′C，從而三棱錐體積最大，故C正確
由A知，平面A'GF一定過平面BCED的垂線，∴恒有平面A'GF⊥平面BCED，故D正確；
故選 B

點評：本題平面圖形的旋轉為載體，綜合考查線面、面面垂直的判定定理、性質定理的運用，考查空間線線、線面的位置關系及所成的角的概念，考查空間想象能力，屬中檔題