Question

如圖，正△ABC的中線AF與中位線DE相交于G，已知△A'ED是△AED繞DE旋轉過程中的一個圖形，現給出下列四個命題：
①動點A'在平面ABC上的射影在線段AF上；
②恒有平面A'GF⊥平面BCED；
③三棱錐A'-FED的體積有最大值；
④面直線A'E與BD不可能垂直．
其中正確的命題的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：由斜線的射影定理可判斷①正確；由面面垂直的判定定理，可判斷②正確；由三棱錐的體積公式，可判斷③正確；由異面直線所成的角的概念可判斷④不正確

解答：解：∵A′D=A′E，△ABC是正三角形，∴A'在平面ABC上的射影在線段AF上，故①正確
由①知，平面A'GF一定過平面BCED的垂線，∴恒有平面A'GF⊥平面BCED，故②正確
三棱錐A'-FED的底面積是定植，體積由高即A′到底面的距離決定，當平面A'DE⊥平面BCED時，三棱錐A'-FED的體積有最大值，故③正確
當（A'E）²+EF²=（A'F）²時，面直線A'E與BD垂直，故④不正確
故正確確答案①②③

點評：本題考查了線面、面面垂直的判定定理、性質定理的運用，考查了空間線線、線面的位置關系及所成的角的概念，考查了空間想象能力，屬基礎題