Question

設函數f（x）=(a

x

-

1

x

)n，其中n=3

∫

2π π

sin（π+x）dx，a為如圖所示的程序框圖中輸出的結果，則f（x）的展開式中常數項是（　�。�

• A、-

  5

  2

• B、-160
• C、160
• D、20

Answer 1

分析：根據積分公式求出n，利用程序框圖求出a的值，根據二項展開式的內容即可得到結論．

解答：解：n=3

∫

2π π

sin（π+x）dx=-3

∫

2π π

sinxdx=3cosx|

2π π

=6，
當i=1時，a=

1

1-2

=-1，
i=2時，a=

1

1-(-1)

=

1

2

，
i=3時，a=

1

1- 1 2

=2，
∴a的取值具備周期性，
當i=2013時，與i=3時相同，此時a=2，
當i=2014時，不滿足條件i＜2014，輸出a=2，
則f（x）=(a

x

-

1

x

)n=(2

x

-

1

x

)6，
∴展開式的常數項為

C

3 6

(2

x

)3•(-

1

x

)3=-8×

6×5×4

3×2×1

=-160，
故選：B．

點評：本題主要考查程序框圖的應用，涉及的知識點有微積分的基本定理，以及二項展開式的基本內容，要求熟練掌握相應的公式．