Question

設函數f（x）=

a

•

b

其中向量

a

=（2cosx，1），b=(cosx，

3

sin2x+m)．
（1）求函數f（x）的最小正周期和在[0，π]上的單調遞增區間；
（2）當x∈[0，

π

6

]時，f（x）的最大值為4，求m的值．

Answer 1

分析：（1）先根據向量的數量積運算表示出函數f（x），再由二倍角公式和兩角和與差的公式進行化簡，根據T=

2π

w

可求得最小正周期，再由正弦函數的單調性可求得單調遞增區間．
（2）由（1）可知在x∈[0，

π

6

]時函數f（x）單調遞增，進而可得到當x=

π

6

時f（x）取最大值，然后將x=

π

6

代入即可求得m的值．

解答：解：（1）∵f(x)=2cos2x+

3

sin2x+m=2sin(2x+

π

6

)+m+1，
∴函數f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
在[0，π]上單調遞增區間為[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]．
（2）當x∈[0，

π

6

]時，
∵f（x）遞增，
∴當x=

π

6

時，f（x）取最大值為m+3，即m+3=4．解得m=1，
∴m的值為1．

點評：本題主要考查向量的數量積運算和三角函數的二倍角公式、兩角和與差的公式的應用，考查對三角函數的基本性質--最小正周期和單調性的運用．向量和三角函數的綜合題是高考的重點，每年必考，一定要多加練習．