Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a+bcosx+csinx的圖象過點(diǎn)（0，1）和點(diǎn)(

π

2

，1)，當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，|f（x）|＜2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、-

  2

  ＜a≤1
• B、1≤a＜4+3

  2

• C、-

  2

  ＜a＜4+3

  2

• D、-a＜a＜2

Answer 1

分析：由已知中函數(shù)f（x）=a+bcosx+csinx的圖象過點(diǎn)（0，1）和點(diǎn)(

π

2

，1)，我們易找到a，b，c之間的關(guān)系，根據(jù)輔助角公式，可將函數(shù)解析式進(jìn)行化簡，然后分類討論a取不同值時(shí)，|f（x）|＜2的解集情況，綜合討論結(jié)果，即可得到答案．

解答：解：已知函數(shù)f（x）=a+bcosx+csinx的圖象過點(diǎn)（0，1）和（

π

2

，1），
則a+b=1①，a+c=1②，
由①②得：b=c=1-a，
∴f（x）=a+（1-a）

2

sin（x+45°），可以分以下幾種情況：
1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=1，符合題意；
2）當(dāng)1-a＞0，即a＜1時(shí)，
由x∈[0，

π

2

]得，f（x）∈[1，

2

+（1-

2

）a]，
若|f（x）|＜2，只需

2

+（1-

2

）a＜2，
∴a＞-

2

，
又∵a＜1，所以-

2

＜a＜1：
3）當(dāng)1-a＜0，即a＞1時(shí)，
由x∈[0，

π

2

]得，f（x）∈[

2

+（1-

2

）a，1]，
若|f（x）|＜2，只需

2

+（1-

2

）a＞-2
∴a＜4+3

2

又∵a＞1，所以1＜a＜4+3

2

綜上所述：a的取值范圍-

2

＜a＜4+3

2

故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的最值，其中根據(jù)已知條件易找到a，b，c之間的關(guān)系，再根據(jù)輔助角公式，可將函數(shù)解析式變形成正弦函數(shù)的形式是解答本題的關(guān)鍵．