Question

已知向量

a

=（sinωx+cosωx，sinωx）

b

=（sinωx-cosωx，2

3

cosωx），設函數f（x）=

a

•

b

（x∈R）的圖象關于直線x=

π

3

對稱，其中常數ω∈（0，2）
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）將函數f（x）的圖象向左平移

π

12

個單位，得到函數g（x）的圖象，用五點法作出函數g（x）在區間[-

π

2

，

π

2

]的圖象．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則列出關系式，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據f（x）的圖象關于直線x=

π

3

對稱，得到f（

π

3

）=±2，求出k與ω的值，即可確定出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用平移規律確定出g（x）的解析式，由x的范圍求出2x的范圍，利用五點法即可作出g（x）的圖象．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

a

=（sinωx+cosωx，sinωx）

b

=（sinωx-cosωx，2

3

cosωx），
∴f（x）=

a

•

b

=sin2ωx-cos2ωx+2

3

sinωxcosωx=

3

sin2ωx-cosωx=2sin（2ωx-

π

6

），
∵f（x）的圖象關于直線x=

π

3

對稱，∴f（

π

3

）=±2，
∴

2π

3

ω-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，即ω=

3k

2

+1∈（0，2），
∴k=0，ω=1，即f（x）=2sin（2x-

π

6

），
∴T=π；
（Ⅱ）根據題意得：g（x）=f（x+

π

12

）=2sin2x，

x	- π 2	- π 4	0	π 4	π 2
2x	-π	- π 2	0	π 2	π
2sin2x	0	-2	0	2	0

畫出圖象得：

點評：此題考查了三角函數的周期性及其求法，平面向量積的運算法則，兩角和與差的正弦函數公式，以及五點法畫三角函數圖象，熟練掌握公式是解本題的關鍵．