Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足（p﹣1）Sn=p2﹣an（p＞0，p≠1），且a3= ．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)bn= ，數(shù)列{bnbn+2}的前n項和為Tn ， 若對于任意的正整數(shù)n，都有Tn＜m2﹣m+ 成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，（p﹣1）S1=p2﹣a1（p＞0，p≠1），

∴a1=p，

∴（p﹣1）（p+a2）=p2﹣a2，解得：a2=1，

∴（p﹣1）（1+p+a3）=p2﹣a3，

又∵a3= ，

∴（p﹣1）（1+p+ ）=p2﹣ ，解得：p=3，

∴2Sn=9﹣an，

∴2an+1=an﹣an+1，即an+1= an，

又∵a1=p=3，

∴數(shù)列{an}是首項為3，公比為 的等比數(shù)列，

∴an= = ；

（2）解：由（1）可知bn= = = ，

∴bnbn+2= = （ ﹣ ），

∴Tn= （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）

= （1+ ﹣ ﹣ ）

= ﹣ （ + ），

顯然Tn隨著n的增大而增大，且Tn＜ ，

則對于任意的正整數(shù)n都有Tn＜m2﹣m+ 成立等價于對于任意的正整數(shù)n都有 ≤m2﹣m+ 成立，

化簡得：m（m﹣1）≥0，

解得：m≤或m≥1．

【解析】（1）通過在（p﹣1）Sn=p2﹣an（p＞0，p≠1）中令n=1可知a1=p，令n=2可知a2=1，令n=3并結(jié)合a3= 可知p=3，進而可知數(shù)列{an}是首項為3，公比為 的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論；（2）通過（1）可知bn= ，裂項、并項相加可知Tn= ﹣ （ + ），利用Tn＜ ，問題轉(zhuǎn)化為解不等式 ≤m2﹣m+ ，計算即得結(jié)論．
【考點精析】通過靈活運用數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式，掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式即可以解答此題．