Question

【題目】如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知D，E分別為BC，B1C1的中點，點F在棱CC1上，且EF⊥C1D．求證：

（1）直線A1E∥平面ADC1；
（2）直線EF⊥平面ADC1 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接ED，∵D，E分別為BC，B1C1的中點，

∴B1E∥BD且B1E=BD，

∴四邊形B1BDE是平行四邊形，

∴BB1∥DE且BB1=DE，又BB1∥AA1且BB1=AA1，

∴AA1∥DE且AA1=DE，

∴四邊形AA1ED是平行四邊形，

∴A1E∥AD，又∵A1E平面ADC1，AD平面ADC1，

∴直線A1E∥平面ADC1

（2）證明：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，

又AD平面ABC，所以AD⊥BB1，

又△ABC是正三角形，且D為BC的中點，∴AD⊥BC，

又BB1，BC平面B1BCC1，BB1∩BC=B，

∴AD⊥平面B1BCC1，

又EF平面B1BCC1，∴AD⊥EF，

又EF⊥C1D，C1D，AD平面ADC1，C1D∩AD=D，

∴直線EF⊥平面ADC1

【解析】（1）連接ED，∵D，E分別為BC，B1C1的中點．可得四邊形B1BDE是平行四邊形，進而證明四邊形AA1ED是平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可證明直線A1E∥平面ADC1 ． （2）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，利用線面垂直的判定與性質定理可得AD⊥BB1 ， 又△ABC是正三角形，可得AD⊥BC，再利用線面垂直的判定定理即可證明結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對直線與平面垂直的判定的理解，了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．