Question

【題目】已知點F1（﹣1，0），F2（1，0），動點M到點F2的距離是 ，線段MF1的中垂線交線段MF2于點P． （Ⅰ）當點M變化時，求動點P的軌跡G的方程；
（Ⅱ）過點F2且不與x軸重合的直線L與曲線G相交于A，B兩點，過點B作x軸的平行線與直線x=2相交于點C，則直線AC是否恒過定點，若是請求出該定點，若不是請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵P在線段MF1的中垂線上，∴PM=PF1 ， 又P在線段MF2上，∴PM+PF2=MF2=2 ，
∴PF1+PF2=2 ，而F1F2=2，
∴動點P的軌跡G是以F1 ， F2為焦點的橢圓，
設橢圓方程為 ，則2a=2 ，c=1，∴a= ，b=1，
∴動點P的軌跡方程為 ．
（Ⅱ）①當l的斜率不存在時，不妨取 ， ，
∴C（2，﹣ ），直線AC的方程為 x+y﹣ =0，
此時易知AC過點 ．
②當l的斜率存在時，設l的方程為：y=k（x﹣1）
聯立方程組 ，消去y得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
設A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），則C（2，y2），且x1+x2= ， ，
直線AC方程為 ，
∴ = = = = ．
當 時，y=0；
綜上可知，直線AC恒過定點 ．
【解析】（I）由中垂線性質可得PM+PF2=MF2=2 ，故而P點軌跡為F1 ， F2為焦點的橢圓，利用定義求出a，b即可得出方程；（II）討論直線l的斜率，聯立方程組，利用根與系數的關系求出直線AC的方程，根據方程判斷即可．