Question

【題目】已知函數為偶函數，當時， ，且曲線在點處的切線方程為．

（1）求的值；；

（2）若存在實數，對任意的，都有，求整數的最小值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）2．

【解析】試題分析：（1）根據導數的幾何意義可得曲線在點處的切線方程，根據此方程與重合可得的值；（2））因為為偶函數，所以存在實數，對任意的，都有，等價于以在上恒成立，設， ，利用導數研究函數的單調性求出與，只需令即可得結果.

試題解析：（1）時， ，

所以曲線在點處的切線方程為，

即．

又曲線在點處的切線方程為，

所以．

（2）因為為偶函數，且當時， ，

那么，

由得，

兩邊取以為底的對數得，

所以在上恒成立，

設，

則（因為）

所以，

設，易知在上單調遞減，

所以，

故，

若實數存在，必有，又，

所以滿足要求，故所求的最小正整數為2．