Question

【題目】已知曲線 （t為參數）， （θ為參數），
（1）化C1 ， C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（2）若C1上的點P對應的參數為 ，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線 （t為參數）距離的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲線 （t為參數），利用同角三角函數的基本關系消去參數t，化為普通方程 （x+4）2+（y﹣3）2=1，

表示以（﹣4，3）為圓心，以1為半徑的圓．

∵ （θ為參數），利用同角三角函數的基本關系消去參數t，化為普通方程為 + =1，

表示焦點在x軸上的一個橢圓

（2）解：C1上的點P對應的參數為 ，Q為C2上的動點，可得點p（﹣4，4），設Q（8cosθ，3sinθ），則 PQ中點M（4cosθ﹣2， ）．

直線C3 即 x﹣2y﹣7=0．故PQ中點M到直線C3：x﹣2y﹣7=0 的距離為 =

= ≥ = ．

故PQ中點M到直線 （t為參數）距離的最小值為

【解析】（1）把參數方程利用同角三角函數的基本關系消去參數，化為普通方程，從而得到它們分別表示什么曲線．（2）求出點p（﹣4，4），設Q（8cosθ，3sinθ），則 PQ中點M（4cosθ﹣2， ）．利用點到直線的距離公式求出PQ中點M到直線 （t為參數）距離 為 ，再由正弦函數的值域求得它的最小值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線的參數方程的相關知識，掌握經過點，傾斜角為的直線的參數方程可表示為（為參數），以及對圓的參數方程的理解，了解圓的參數方程可表示為．