Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

以坐標原點為極點，以軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的參數方程為（為參數，），直線的參數方程為（為參數）．

（1）點在曲線上，且曲線在點處的切線與直線垂直，求點的極坐標；

（2）設直線與曲線有兩個不同的交點，求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）首先設出點的坐標，然后根據直線與圓相切求得直線的斜率，由此得出點的直角坐標，從而求得其極坐標；（2）首先設出直線的方程，然后利用點到直線的距離公式求得當直線與圓相切時的斜率，再設點，求出，由此求得直線的斜率的取值范圍．

試題解析：（1）設點坐標為 ，

由已知得是以為圓心，為半徑的上半圓．

因為在點處的切線與垂直，所以直線與直線的斜率相同，，

故點的直角坐標為，極坐標為；

（2）設直線與半圓相切時，

∴，∴（舍去），

設點，則，

故直線的斜率的取值范圍為．