Question

【題目】已知函數.

（1）求的最大值；

（2）當時，函數有最小值. 記的最小值為，求函數的值域.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）首先求得導函數，然后根據導函數與0的關系求得函數的單調區間，從而求得的最大值；（2）首先求得，然后結合（1）分、求得函數的單調區間與最小值的函數解析式，再通過求導研究其的單調性，從而求得的值域.

試題解析：（1）f′(x)＝（x＞0），

當x∈(0，e)時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增；

當x∈(e，＋∞)時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減，

所以當x＝e時，f(x)取得最大值f(e)＝. …4分

（2）g′(x)＝lnx－ax＝x(－a)，由（1）及x∈(0，e]得：

①當a＝時，－a≤0，g′(x)≤0，g(x)單調遞減，

當x＝e時，g(x)取得最小值g(e)＝h(a)＝－. …6分

②當a∈[0，)，f(1)＝0≤a，f(e)＝＞a，

所以存在t∈[1，e)，g′(t)＝0且lnt＝at，

當x∈(0，t)時，g′(x)＜0，g(x)單調遞減，當x∈(t，e]時，g′(x)＞0，g(x)單調遞增，

所以g(x)的最小值為g(t)＝h(a). …9分

令h(a)＝G(t)＝－t，

因為G′(t)＝＜0，所以G(t)在[1，e)單調遞減，此時G(t)∈(－，－1].

綜上，h(a)∈[－，－1]. …12分