Question

（2013•合肥二模）定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x ）的圖象關(guān)于直線．x=1對(duì)稱，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，方程 f（x）=log₂₀₁₃x實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為
（　　）

A．1006

B．1007

C．2012

D．2014

Answer 1

分析：可根據(jù)定義在R上的奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱⇒f（x+4）=f（x），再利用0≤x≤1時(shí)，f（x）=x，數(shù)形結(jié)合，可求得方程f（x）=log₂₀₁₃x的所有實(shí)根的個(gè)數(shù)．

解答：解：∵函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴f（2-x）=f（x），又y=f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期為4，
又定義在R上的奇函數(shù)，故f（0）=0，
f（x）=log₂₀₁₃x實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，即y=f（x）和y=log₂₀₁₃x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
同一坐標(biāo)系里作出y=f（x）和y=log₂₀₁₃x的圖象，
∵當(dāng)0＜x≤4時(shí)，圖象有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)4＜x≤8時(shí)，圖象有2個(gè)交點(diǎn)，…；
根據(jù)周期性，y=f（x）和y=log₂₀₁₃x的圖象有1+502×2+1=1006個(gè)交點(diǎn)．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷及奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性，關(guān)鍵在于判斷f（x）的周期為4，再結(jié)合“0＜x≤1時(shí)，f（x）=x”與奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，數(shù)形結(jié)合予以解決，屬于中檔題．