Question

（2013•合肥二模）過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點F（-c，0）（c＞0），作傾斜角為

π

6

的直線FE交該雙曲線右支于點P，若

OE

=

1

2

（

OF

+

OP

），且

OE

•

EF

=0則雙曲線的離心率為（　　）

• A．

  10

  5

• B．

  3

  +1
• C．

  10

  2

• D．

  2

Answer 1

分析：判斷出E為PF的中點，據雙曲線的特點知原點O為兩焦點的中點；利用中位線的性質，求出PF′的長度及判斷出PF′垂直于PF；通過勾股定理得到a，c的關系，求出雙曲線的離心率．

解答：解：在Rt△PFF′中，OE=

1

2

OF=

1

2

c．
∵

OE

=

1

2

（

OF

+

OP

），
∴E為PF的中點，令右焦點為F′，則O為FF′的中點，
則PF′=2OE=c，
∵

OE

•

EF

=0，
∴OE⊥PF
∴PF′⊥PF
∵PF-PF′=2a
∴PF=PF′+2a=2a+c
在Rt△PFF′中，PF²+PF′²=FF′²
即（2a+c）²+c²=4c²
⇒所以離心率e=

c

a

=

3

+1．
故選B．

點評：本小題主要考查雙曲線的簡單性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，在圓錐曲線中，求離心率關鍵就是求三參數a，b，c的關系，屬于基礎題．