Question

【題目】已知f（x）= ，（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（x）的定義域．
（2）證明f（x）為奇函數．
（3）求使f（x）＞0成立的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= ，（a＞0，且a≠1）的定義域為：{x| }，

解得f（x）= ，（a＞0，且a≠1）的定義域為{x|﹣1＜x＜1}

（2）解：∵f（x）= ，（a＞0，且a≠1），

∴f（﹣x）= =﹣ =﹣f（x），

∴f（x）為奇函數

（3）解：∵f（x）= ，（a＞0，且a≠1），

∴由f（x）＞0，得 ，

當0＜a＜1時，有0＜ ＜1，解得﹣1＜x＜0；

當a＞1時，有 ＞1，解得0＜x＜1；

∴當a＞1時，使f（x）＞0成立的x的取值范圍是（0，1），

當0＜a＜1時，使f（x）＞0成立的x的取值范圍是（﹣1，0）

【解析】（1）f（x）= ，（a＞0，且a≠1）的定義域為：{x| }，由此能求出結果．（2）由f（x）= ，（a＞0，且a≠1），知f（﹣x）= =﹣ =﹣f（x），由此能證明f（x）為奇函數．（3）由f（x）＞0，得 ，對a分類討論可得關于x的方程，由此能求出使f（x）＞0成立的x的取值范圍．
【考點精析】利用函數單調性的性質和函數的奇偶性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．