Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C： 的左焦點為F，右頂點為A，動點M為右準線上一點（異于右準線與x軸的交點），設線段FM交橢圓C于點P，已知橢圓C的離心率為 ，點M的橫坐標為 ．

（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若∠FPA為直角，求P點坐標；
（3）設直線PA的斜率為k1 ， 直線MA的斜率為k2 ， 求k1k2的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知：離心率e= = ，

準線方程x= = ，

解得：a=3，c=2，

由b2=a2﹣c2=5，

∴求橢圓C的標準方程為

（2）解：由∠FPA為直角，

∴以AF為直徑的圓的與橢圓相交于P點，設P（x，± ），

∴圓心為O（ ，0），半徑為 ，

∴丨PO丨= ，即 = ，整理得：4x2﹣9x﹣9=0，

解得：x=﹣ 或x=3（舍去），

∴y=± =± ，

∴P點坐標為：

（3）解：設點P（x1，y1）（﹣2＜x1＜3），點 ，

∵點F，P，M共線，x1≠﹣2，

∴ ，即 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

又∵點P在橢圓C上，

∴ ，

∴ ，

∵﹣2＜x1＜3，

∴ ，

故k1k的取值范圍為

【解析】（1）由橢圓的離心率e= = ，準線方程x= = ，即可求得a和c的值，則b2=a2﹣c2=5，即可求得橢圓C的標準方程；（2）由∠FPA為直角，以AF為直徑的圓的與橢圓相交于P點，設P（x，± ），求得圓心為O（ ，0）及半徑為 ，根據點到直線的距離公式，即可求得a的值，代入求得y的值，即可求得P點坐標；（3）設點P（x1 ， y1）（﹣2＜x1＜3），點M ，由點F、P、M三點共線，求得點M的坐標， ． ，則 ．由此可導出k1k2的取值范圍．