Question

【題目】已知函數，其中實數為常數，為自然對數的底數.

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）當時，解關于的不等式；

（3）當時，如果函數不存在極值點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間為 ；單調遞減區間為 ．（2） （3）

【解析】試題分析：把代入由于對數的真數為正數，函數定義域為，所以函數化為，求導后在定義域下研究函數的單調性給出單調區間；代入，，分和兩種情況解不等式；當時，，求導，函數不存在極值點，只需恒成立，根據這個要求得出的范圍.

試題解析：

（1）時，，

令，解得，

且時，，單調遞減；

時，，單調遞增．

所以單調遞增區間為；單調遞減區間為．

（2）時，．

當時，原不等式可化為．

記，則，

當時，，

所以在單調遞增，又，故不等式解為；

當時，原不等式可化為，顯然不成立，

綜上，原不等式的解集為．

（3）時，，

，記，

因為時，，

所以不存在極值點時恒成立.

由，解得

且時，，單調遞減；

時，，單調遞增．

所以，解得．