Question

【題目】已知函數 (為自然對數的底數， ).

(1)求的單調區間和極值；

(2)求證：當，且時， .

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數的導數，列出變化表，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；
（Ⅱ）問題等價于, 設, 根據函數的單調性證明即可．

試題解析：

（1）解　由f(x)＝ex－3x＋3a，x∈R知f′(x)＝ex－3，x∈R.

令f′(x)＝0，得x＝ln 3，

于是當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表.

x	(－∞，ln 3)	ln 3	(ln 3，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)		3(1－ln 3＋a)

故f(x)的單調遞減區間是(－∞，ln 3]，

單調遞增區間是[ln3，＋∞)，

f(x)在x＝ln 3處取得極小值，極小值為f(ln 3)＝eln3－3ln 3＋3a＝3(1－ln 3＋a)．

（2）證明:待證不等式等價于

設，x∈R，

于是，x∈R.

由（I）及知： 的最小值為g′(ln 3)＝3(1－ln 3＋a)＞0.

于是對任意x∈R，都有＞0，所以g(x)在R內單調遞增．

于是當時，對任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0)．

而g(0)＝0，從而對任意x∈(0，＋∞)，g(x)＞0.

即，故.