Question

已知動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=－1相切，點C在l上.
（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設過點P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A、B兩點. 問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由.

Answer 1

(1)   (2)不能

試題分析：(1)由拋物線的定義可得知,軌跡為拋物線, P（1，0）看作焦點,直線l：x=－1看作準線.從而得出軌跡方程.
(2) 先得出直線的方程,代入圓的方程中可求出直線與圓的交點,再利用兩點間距離公式列出方程組,最后驗證.
試題解析：(1)依題意,曲線M是以點P為焦點,直線l為準線的拋物線,     （2分）

所以曲線M的方程為,如上圖.     （4分）
(2)由題意得,直線的方程為
   （6分）
由 消去,得
解得   （10分）
存在這樣的C點，使得為以為兩腰的等腰三角形，
設則

解得   （13分）
但是不符合（1），所以上面方程組無解，因此直線l上不存在點C使得是正三角形   （14分）