Question

已知雙曲線方程2x2－y2＝2.
(1)求以A(2,1)為中點的雙曲線的弦所在的直線方程；
(2)過點(1,1)能否作直線l，使l與雙曲線交于Q1，Q2兩點，且Q1，Q2兩點的中點為(1,1)？如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

（1）;（2）直線l不存在,理由詳見解析

試題分析：（1）設出弦的兩端點，代入雙曲線方程，作差即可得到弦所在直線的斜率，再利用點斜式求直線方程。（2）同（1）中方法可求得弦所在直線方程，代入雙曲線，消掉y（或x）整理出關于x的一元二次方程，看判別式。若判別式大于等于0，則所求直線存在，否則不存在。
試題解析：（1）設弦的兩端點為，因為A(2,1)為中點，所以。因為在雙曲線上所以，兩式相減得，所以,所以，
所以所求弦所在直線方程為，即。
將直線方程代入雙曲線方程，整理成關于x的一元二次方程，經檢驗
（2）假設直線l存在，由（1）中方法可求得直線方程為，聯立方程，消去y得，因為，因此直線與雙曲線無交點，所以直線l不存在。