Question

（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，在橢圓C上，A，B為橢圓C的左、右頂點．
(1)求橢圓C的方程：
(2)若P是橢圓上異于A，B的動點，連結AP，PB并延長，分別與右準線相交于M₁，M2.問是否存在x軸上定點D，使得以M₁M₂為直徑的圓恒過點D?若存在，求點D的坐標：若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）（2）存在或，使得以為直徑的圓恒過點

試題分析：（1）因為離心率為，在橢圓上.所以利用待定系數法求出長半軸的長和短半軸的長.從而寫出橢圓的標準方程.本小題要求解方程組能力較強.雖然本小題屬于較基礎的題目，但是運算也是這道題難點，否則會影響到下一題的得分.
（2）通過假設的坐標，寫出直線.并求出它們與準線方程的交點坐標.如果存在則點是在以線段為直徑的圓上，所以通過向量的垂直可得一個關于的等式.又因為符合橢圓的方程.所以可以求出結論.
試題解析：（1）由得：，，        1分
從而有：
又在橢圓上，故有，解得
所以，橢圓的方程為：.        4分
（2）設，由（1）知：.
則直線的方程為：，由得所以；
同理得：. 6分
假設存在點，使得以為直徑的圓恒過點，即：.
又在橢圓上，∴∴ .         10分
代入上式得，解得或7.
所以，存在或，使得以為直徑的圓恒過點.         12分