Question

【題目】已知函數f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．
（1）當m=7時，求函數f（x）的定義域；
（2）若關于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題設知：|x+1|+|x﹣2|＞7，

不等式的解集是以下不等式組解集的并集： ，或 ，或 ，

解得函數f（x）的定義域為（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）

（2）解：不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，

∵x∈R時，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，

不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，

∴m+4≤3，m的取值范圍是（﹣∞，﹣1]

【解析】（1）由題設知：|x+1|+|x﹣2|＞7，解此絕對值不等式求得函數f（x）的定義域．（2）由題意可得，不等式即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，由于x∈R時，恒有|x+1|+|x﹣2|≥3，故m+4≤3，由此求得m的取值范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的定義域及其求法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零．