Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣4x+a+3：
（1）若函數y=f（x）在[﹣1，1]上存在零點，求實數a的取值范圍；
（2）設函數g（x）=x+b，當a=3時，若對任意的x1∈[1，4]，總存在x2∈[5，8]，使得g（x1）=f（x2），求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的圖象對稱軸為x=2，開口向上，

∴f（x）在[﹣1，1]上單調遞減，

△=16﹣4（a+3）=﹣4a+4，

若函數y=f（x）在[﹣1，1]上存在零點，則f（﹣1）f（1）≤0，

∴ ，解得﹣8≤a≤0

（2）解：當a=3時，f（x）=x2﹣4x+6，

∴f（x）在[5，8]上單調遞增，

∴當x=5時，f（x）取得最小值11，當x=8時，f（x）取得最大值38，

∴f（x）在[5，8]上的值域為[11，38]；

又g（x）=x+b在[1，4]上單調遞增，∴g（x）在[1，4]上的值域為[1+b，4+b]，

∵若對任意的x1∈[1，4]，總存在x2∈[5，8]，使得g（x1）=f（x2），

∴[1+b，4+b][11，38]，

∴ ，解得10≤b≤34

【解析】（1）利用零點的存在性定理列不等式組解出；（2）求出f（x）在[5，8]上的值域和g（x）在[1，4]上的值域，根據題意得出兩值域的包含關系得出b的范圍．
【考點精析】利用二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．