Question

【題目】設公差不為0的等差數列{an}的前n項和為Sn ， 若a2 ， a5 ， a11成等比數列，且a11=2（Sm﹣Sn）（m＞n＞0，m，n∈N*），則m+n的值是 ．

Answer 1

【答案】9
【解析】解：設公差d不為0的等差數列{an}， a2 ， a5 ， a11成等比數列，
可得a52=a2a11 ，
即為（a1+4d）2=（a1+d）（a1+10d），
化簡可得a1=2d，
a11=2（Sm﹣Sn），
即有12d=2[ma1+ d﹣na1﹣ d]，
12d=4md﹣4nd+d（m2﹣m﹣n2+n），
即有（m﹣n）（m+n+3）=12，
由于m＞n＞0，m，n∈N*，
可得m+n+3≥6，m﹣n≤2，
若m=2，3，n=1則方程不成立；
若m=3，4，n=2，則方程不成立；
若m=4，5，n=3，則方程不成立；
若m=5，n=4，則方程成立；
m=6，n=4則方程不成立．
故m+n=5+4=9．
故答案為：9．
設公差d不為0的等差數列{an}，運用等比數列中項的性質，化簡可得a1=2d，再由等差數列的求和公式，化簡可得（m﹣n）（m+n+3）=12，通過m＞n，且m，n為自然數，列舉判斷即可得到所求和．