Question

如圖所示,正方形AA₁D₁D與矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),

(1).求證:D₁E⊥A₁D;
(2).在線段AB上是否存在點(diǎn)M，使二面角D₁-MC-D的大小為？，若存在,求出AM的長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由

Answer 1

（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）.

試題分析：本題主要考查線面的位置關(guān)系、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的空間想象能力推理論證能力．第一問(wèn)，利用為正方形，得到，由于平面與平面ABCD互相垂直，利用面面垂直的性質(zhì)，得平面，利用線面垂直的性質(zhì)得，利用線面垂直的判斷，得
平面，再利用線面垂直的性質(zhì)得；第二問(wèn)，法一：作出輔助線，則利用射影定理得，則即為二面角的平面角，則，在中求出DN，在中求出，從而得到，最后在中求出BM，即得到AM的長(zhǎng)；法二：利用向量法，根據(jù)已知條件先求出平面MCD和平面的法向量，利用夾角公式，通過(guò)解方程得AM的長(zhǎng).
試題解析：（1）連結(jié)交于F，
∵四邊形為正方形，
∴，
∵正方形與矩形ABCD所在平面互相垂直，交線為，，
∴平面，又平面，
∴，
又，∴平面，
又平面，∴.                 6分
（2）存在滿足條件的.
【解法一】假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，則，

所以為二面角的平面角，
9分
所以，
在中，所以，
又在中，，所以，∴，
在中，，
∴．
故在線段上存在一點(diǎn)，使得二面角為，且.               12分
【解法二】依題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043521984578.png" style="vertical-align:middle;" />，則，，，，所以，.
易知為平面的法向量，設(shè)，所以,
設(shè)平面的法向量為，所以，即，
所以，取，
則，又二面角的大小為，
所以，
即，解得.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043522389501.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
故在線段上是存在點(diǎn)，使二面角的大小為，且.     12分