Question

如圖，已知正方體棱長(zhǎng)為2，、、分別是、和的中點(diǎn).

（1）證明：面；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）.

試題分析：先以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，然后標(biāo)明有效點(diǎn)的坐標(biāo)，（1）寫(xiě)出有效向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零即可證明，從而可得平面；（2）易知為平面的法向量，先計(jì)算，然后觀察二面角是銳角還是鈍角，最終確定二面角的余弦值.
試題解析：以為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，正方體棱長(zhǎng)為2

則  2分
(1)則，
          3分
∵
∴          4分
∵
∴          5分
又，，      6分
∴面                      7分
(2)由(1)知為面的法向量          8分
∵面，為面的法向量      9分
設(shè)與夾角為，則   12分
由圖可知二面角的平面角為
∴二面角的余弦值為              14分.