Question

已知橢圓經過點，離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于兩點，點是橢圓的右頂點．直線與直線分別與軸交于點，試問以線段為直徑的圓是否過軸上的定點？若是，求出定點坐標；若不是，說明理由．

Answer 1

（1）橢圓的方程是；（2）線段為直徑的圓過軸上的定點．

試題分析：（1）求橢圓的方程，已知橢圓經過點，離心率為，故可用待定系數法，利用離心率可得，利用過點，可得，再由，即可解出，從而得橢圓的方程；（2）這是探索性命題，可假設以線段為直徑的圓過軸上的定點，則，故需表示出的坐標，因為點是橢圓的右頂點，所以點，設，分別寫出直線與的方程，得的坐標，由，得，因此由得，則式方程的根，利用根與系數關系得，，，代入即可．
試題解析：（1）由題意得，解得，．
所以橢圓的方程是．                         4分
（2）以線段為直徑的圓過軸上的定點.
由得．
設，則有，．
又因為點是橢圓的右頂點，所以點．
由題意可知直線的方程為，故點．
直線的方程為，故點．
若以線段為直徑的圓過軸上的定點，則等價于恒成立．
又因為，，
所以恒成立．
又因為，
，
所以．解得．
故以線段為直徑的圓過軸上的定點．         14分