Question

已知橢圓的短半軸長為，動點在直線（為半焦距）上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求以為直徑且被直線截得的弦長為的圓的方程；
（3）設是橢圓的右焦點，過點作的垂線與以為直徑的圓交于點，
求證：線段的長為定值，并求出這個定值．

Answer 1

（1），（2），(3) ．

試題分析：（1）求橢圓標準方程，基本方法為待定系數法.由題意得及，因此可解得，.（2）圓的弦長問題，通常化為直角三角形，即半徑、半弦長、圓心到直線距離構成一個直角三角形. 圓心為,圓心到直線的距離，因此，，所求圓的方程為． (3)涉及定值問題，一般通過計算，以算代證.本題有兩種算法，一是利用射影定理，只需求出點在上射影的坐標，即由兩直線方程得，因此.二是利用向量坐標表示，即設，根據兩個垂直，消去參數t,確定.
試題解析：（1）由點在直線上，得，
故， ∴． 從而．                 2分
所以橢圓方程為．                            4分
（2）以為直徑的圓的方程為．
即． 其圓心為,半徑．    6分
因為以為直徑的圓被直線截得的弦長為，
所以圓心到直線的距離．
所以，解得．所求圓的方程為．  9分
（3）方法一：由平幾知：，
直線，直線，
由得．
∴．
所以線段的長為定值．                                     13分
方法二：設，
則．
．
又．
所以，為定值．                             13分