Question

【題目】已知橢圓右焦點，離心率為，過作兩條互相垂直的弦，設中點分別為.

（1）求橢圓的方程；

(2) 證明：直線必過定點，并求出此定點坐標；

(3) 若弦的斜率均存在，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線MN過定點；（3）S△FMN的最大值為.

【解析】分析：（1）根據題意確定出c與e的值，利用離心率公式求出a的值，進而求出b的值，確定出橢圓方程即可；

（2）由直線AB與CD斜率均存在，設為k，表示出AB方程，設出A與B坐標，聯立直線AB與橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系表示出M，同理表示出N，根據M與N橫坐標相同求出k的值，得到此時MN斜率不存在，直線MN恒過定點；若直線MN斜率存在，表示出直線MN斜率，進而表示出直線MN，令y=0，求出x的值，得到直線MN恒過定點，綜上，得到直線MN恒過定點，求出定點坐標即可；

（3）根據P坐標，得到OP的長，由OF﹣OP表示出PF長，S△FMN＝S△FPM＋S△FPN，利用基本不等式求出面積的最大值即可．

詳解：(1) （1）由題意：c=1， =，

∴a=，b=c=1，

則橢圓的方程為+y2=1；

(2) ∵AB，CD斜率均存在，

∴設直線AB方程為：y=k（x﹣1），

再設A（x1，y1），B（x2，y2），則有M（，k（﹣1）），

聯立得： ，

消去y得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

∴，即M（， ），

將上式中的k換成﹣，同理可得：N（， ），

若=，解得：k=±1，直線MN斜率不存在，

此時直線MN過點（，0）；

下證動直線MN過定點P（，0），

若直線MN斜率存在，則kMN===×，

直線MN為y﹣=×（x﹣），

令y=0，得x=+×=×=，

綜上，直線MN過定點（，0）；

(3) 由第（2）問可知直線MN過定點P（，0），

故S△FMN=S△FPM+S△FPN=×||+×|=×，

令t=|k|+∈[2，+∞），S△FMN=f（t）=×=×，

∴f（t）在t∈[2，+∞）單調遞減，

當t=2時，f（t）取得最大值，即S△FMN最大值，此時k=±1．