Question

【題目】設是上的奇函數，且當時，，.

（1）若，求的解析式；

（2）若，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）若的值域為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

(1)根據求出參數，利用奇函數的定義可求出當時函數的解析式，由是上的奇函數可知，即可寫出函數解析式；（2）由可知當時，，即可判斷函數在上單調遞增，由奇函數在對稱的區間上單調性一致可知在上單調遞增, 利用函數的單調性與奇偶性將符號脫掉，轉化為恒成立問題，即可求解；（3）首先使對都有意義，由奇函數的圖象與性質可知，要使的值域為，則當時，使在第一象限及的正半軸上都有圖象，列出相應不等式即可.

（1）因為，則，所以.

所以當時，，又，故

.

（2）若，則在上單調遞增，故等價于

，令，

于是在恒成立，

設，

①當時，則，于是，

②當時，則，得，

綜上，.

（3）設，

首先對恒成立，

可得對恒成立，

故.

由題意知，若函數的值域為，

只需在上有解，即有解，

故有，

所以：.