Question

【題目】(2017·泰安模擬)如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E為AD的中點，F為B1C1的中點．

(1)求證：A1F∥平面ECC1；

(2)在CD上是否存在一點G，使BG⊥平面ECC1？若存在，請確定點G的位置，并證明你的結論，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析:(1) 取BC的中點M，易得A1F∥AM, ,CE∥AM，所以CE∥A1F.再根據線面平行判定定理得結論 (2) 作BG⊥EC.則G為CD的中點時,由線面垂直性質得CC1⊥BG.再根據線面垂直判定定理得結論

試題解析:解：(1)證明：如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，取BC的中點M，連接AM，FM，

所以B1F∥BM且B1F＝BM，

所以四邊形B1FMB是平行四邊形，

所以FM∥B1B且FM＝B1B.

因為B1B∥A1A且B1B＝A1A，

所以FM∥A1A且FM＝A1A，

所以四邊形AA1FM是平行四邊形，所以A1F∥AM.

因為E為AD的中點，

所以AE∥MC且AE＝MC.

所以四邊形AMCE是平行四邊形，

所以CE∥AM，所以CE∥A1F.

因為A1F平面ECC1，EC平面ECC1，

所以A1F∥平面ECC1.

(2)在CD上存在一點G，使BG⊥平面ECC1.

證明如下：取CD的中點G，連接BG.

在正方形ABCD中，DE＝GC，CD＝BC，∠ADC＝∠BCD，

所以△CDE≌△BCG，

所以∠ECD＝∠GBC.

因為∠CGB＋∠GBC＝90°，

所以∠CGB＋∠DCE＝90°，所以BG⊥EC.

因為CC1⊥平面ABCD，BG平面ABCD，

所以CC1⊥BG.又EC∩CC1＝C，

所以BG⊥平面ECC1.

故當G為CD的中點時，滿足BG⊥平面ECC1.