Question

【題目】已知拋物線上一點到其焦點的距離為4，橢圓 的離心率，且過拋物線的焦點.

（1）求拋物線和橢圓的標準方程；

（2）過點的直線交拋物線于兩不同點，交軸于點，已知， ，求證： 為定值.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的方程為，橢圓的標準方程為；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）利用拋物線C1：y2＝2px上一點M（3，y0）到其焦點F的距離為4；求出p，即可得到拋物線方程，通過橢圓的離心率e＝，，且過拋物線的焦點F（1，0）求出a，b，即可得到橢圓的方程；

（2）直線l1的斜率必存在，設為k，設直線l與橢圓C2交于A（x1，y1），B（x2，y2），求出直線l的方程為y=k（x-1），N（0，-k），聯立直線與橢圓的方程，利用韋達定理以及判別式，通過向量關系式即可求出λ+μ為定值．

試題解析：

（Ⅰ）拋物線的準線為， 所以,所以

拋物線的方程為

所以，,解得所以橢圓的標準方程為

(Ⅱ)直線的斜率必存在,設為,設直線與拋物線交于

則直線的方程為,

聯立方程組:

所以 , (*)

由得:

得:

所以

將(*)代入上式,得