Question

（本小題滿分14分）
如圖5所示，在三棱錐中，，平面平面，于點(diǎn)， ，，．

（1）證明△為直角三角形；
（2）求直線與平面所成角的正弦值

Answer 1

（1）證明1：因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210030438487.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面平面， 平面，，
所以平面．
記邊上的中點(diǎn)為，在△中，，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210030422668.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210031140387.png" style="vertical-align:middle;" />，所以△為直角三角形．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210030609508.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以．
連接，在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210032450546.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210031140387.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，所以．
在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210030609508.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以．
在中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210033339542.png" style="vertical-align:middle;" />，，，
所以．
所以為直角三角形．
證明2：因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210030438487.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面平面， 平面，，
所以平面．
記邊上的中點(diǎn)為，在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210031498517.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210030422668.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以．
連接，在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210035055719.png" style="vertical-align:middle;" />，，，
所以．
在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210030578451.png" style="vertical-align:middle;" />，，，
所以，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210031140387.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210035711584.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平面．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210035867400.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以．
所以為直角三角形．
（2）解法1：過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，連，
則為直線與平面所成的角．
由（1）知，△的面積．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210030609508.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
由（1）知為直角三角形，，，
所以△的面積．
因?yàn)槿�棱錐與三棱錐的體積相等，即，
即，所以．
在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210030609508.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232100368961480.png" style="vertical-align:middle;" />．
所以直線與平面所成角的正弦值為．
解法2：過點(diǎn)作，設(shè)，

則與平面所成的角等于與平面所成的角．
由（1）知，，且，
所以平面．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210035664412.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以平面平面．
過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，
則平面．
所以為直線與平面所成的角．
在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210030609508.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210037271615.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即，所以．
由（1）知，，且，
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232100389711668.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
解法3：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接、，
在△中，，

所以，即．
在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210033370605.png" style="vertical-align:middle;" />，，，
所以，
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210039845571.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以平面．
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210039969442.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210040250580.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以平面．
所以為直線與平面所成的角．
由（1）知，，
所以．
在△中，點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn)，
所以．
在△中，，，，
所以，即．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232100407651451.png" style="vertical-align:middle;" />．
所以直線與平面所成角的正弦值為．
解法4：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在的直線分別為軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，
  
則，，，．
于是，，．
設(shè)平面的法向量為，
則
即
取，則，．
所以平面的一個(gè)法向量為．
設(shè)直線與平面所成的角為，
則．
所以直線與平面所成角的正弦值為．
若第（1）、（2）問都用向量法求解，給分如下：

（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在的直線分別為軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，
則，，．
于是，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232100434951466.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以．
所以．
所以為直角三角形．
（2）由（1）可得，．
于是，，．
設(shè)平面的法向量為，
則即
取，則，．
所以平面的一個(gè)法向量為．
設(shè)直線與平面所成的角為，
則．
所以直線與平面所成角的正弦值為．

略