Question

【題目】已知雙曲線的焦點是橢圓： 的頂點， 為橢圓的左焦點且橢圓經過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓的右頂點作斜率為（）的直線交橢圓于另一點，連結并延長交橢圓于點，當的面積取得最大值時，求的面積.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）根據題意，求出雙曲線的焦點坐標，即可得橢圓的頂點坐標，可得a的值，將點的坐標代入橢圓的方程可得，解可得a、b的值，將a、b的值代入橢圓的方程即可得答案；

（2）根據題意，設直線AB的方程為，與橢圓的方程聯立，可得，分析可以用k表示△AOB的面積，由基本不等式的性質分析可得答案．

試題解析：

（1）由已知，得，

所以的方程為.

（2）由已知結合（1）得， ，

所以設直線： ，聯立： 得，

得，

，

當且僅當，即時， 的面積取得最大值，

所以，此時，

所以直線： ，聯立，解得，

所以.