Question

【題目】已知.

（1）當時，求證： ；

（2）當時，試討論方程的解的個數.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）時，方程一個解；當且時，方程兩個解.

【解析】試題分析：（1）等價于，令，利用導數研究函數的單調性求出，即可得結論；（2）問題轉化為函數的零點個數，通過兩次求導，討論三種情況，分別判斷函數單調性及最值情況，從而可得方程解的個數.

試題解析：（1）要證，

只要證（*）

令，則，

而，所以在上單調遞增，又，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

∴，即，（*）式成立

所以原不等式成立.

（2）問題轉化為函數的零點個數.

而， .

令，解得.

所以在上單調遞減，在上單調遞增.

所以，

設， ，

而，

則在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，即（當即時取等）.

1°當時， ，則恒成立.

所以在上單調遞增，又，則有一個零點；

2°當時， ， ，

有在上單調遞減，在上單調遞增，

且時，

則存在使得，又

這時在上單調遞增，在上單調遞減， 在上單調遞增

所以，又時， ，

所以這時有兩個零點；

3°當時， ， .

有在上單調遞減，在上單調遞增，

且時， ，

則存在使得.又，

這時在上單調遞增，在上單調遞減， 在上單調遞增.

所以.又時， ， .

所以這時有兩個零點；

綜上： 時，原方程一個解；當且時，原方程兩個解.