Question

某同學在研究函數 f （x）=

x

1+|x|

（x∈R） 時，分別給出下面幾個結論：
①等式f（-x）+f（x）=0在x∈R時恒成立；
②函數 f （x） 的值域為 （-1，1）；
③若x₁≠x₂，則一定有f （x₁）≠f （x₂）；
④方程f（x）-x=0有三個實數根．
其中正確結論的序號有

①②③

．（請將你認為正確的結論的序號都填上）

Answer 1

分析：由奇偶性的定義來判斷①，由分類討論結合反比例函數的單調性求解②；由②結合①對稱區間上的單調性相同說明③正確；由數形結合來說明④不正確．

解答：解：①f(-x)=

-x

1+|x|

=-f(x)∴正確
②當x＞0時，f（x）=

1

1+ 1 x

∈（0，1）
由①知當x＜0時，f（x）∈（-1，0）
x=0時，f（x）=0
∴f（x）∈（-1，1）正確；
③則當x＞0時，f（x）=

1

1+ 1 x

反比例函數的單調性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函數
再由①知f（x）在（-∞，0）上也是增函數，正確
④由③知f（x）的圖象與y=x只有一個交點（0，0）．
不正確．
故答案為：①②③．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、根的存在性及根的個數判斷等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．