Question

某同學在研究函數f(x)=

2x

|x|+1

(x∈R)時，分別得出如下幾個結論：
①等式f（-x）+f（x）=0在x∈R時恒成立；
②函數f（x）的值域為（-2，2）；
③若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
④函數y（x）=f（x）-2x在R上有三個零點．
其中正確的序號有

①②③

．

Answer 1

分析：由奇偶性的定義來判斷①，由分類討論結合反比例函數的單調性求解②；由②結合①對稱區間上的單調性相同說明③正確；由數形結合來說明④不正確．

解答：解：①f（-x）=

-2x

|-x|+1

=-f（x）∴正確
②當x＞0時，f（x）=

2

1+ 1 x

∈（0，2）
由①知當x＜0時，f（x）∈（-2，0）
x=0時，f（x）=0
∴f（x）∈（-2，2）正確；
③則當x＞0時，f（x）=

2

1+ 1 x

反比例函數的單調性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函數
再由①知f（x）在（-∞，0）上也是增函數，正確
④由③知f（x）的圖象與y=2x只有兩個交點．不正確．
故答案為：①②③

點評：本題主要考查了函數的定義域，單調性，奇偶性，值域，考查全面，方法靈活，這四個問題在研究時往往是同時考慮，屬于基礎題．